quadratiques, équations, équations algébriques de degré 2. L’équation générale est de la forme :
où a, b et c sont des constantes, et a ? 0. Résoudre cette équation consiste à trouver ses racines, c’est-à-dire les valeurs de x qui vérifient la formule (1). Si ax2 + bx + c peut être factorisé sous la forme : a(x - u)(x - v), où u et v sont des constantes, alors u et v sont les racines de cette équation. Dans l’exemple :
on peut écrire :
Par conséquent, les racines de (2) sont u = 1 et v = - 2.
| 2 | | Technique de résolution d’équations du second degré |
On peut également utiliser la formule générale :
pour résoudre l’équation (1). Si le terme b2 - 4ac, appelé déterminant, est supérieur à 0, alors l’équation (1) possède deux solutions distinctes :
Dans l’exemple (2), a = 2, b = 2 et c = - 4. La formule (3) donne alors les solutions :
De même, l’équation x2 - x - 1 = 0 a pour solutions :
Si b2 - 4ac = 0, l’équation du second degré possède une seule solution :
Par exemple, x2 - 2x + 1 = 0 a une solution x = 1, correspondant à la factorisation :
Si b2 - 4ac < 0, alors l’équation (1) n’a pas de solution réelle (voir nombres ), car dans l’ensemble des nombres réels, la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie. En revanche, cette équation a deux solutions données par la formule (3) dans l’ensemble des nombres complexes . Par exemple, l’équation x2 - 2x + 2 = 0 a pour solutions :
où i est le nombre imaginaire dont le carré est égal à - 1.
La formule (3) peut se démontrer en « complétant le carré ». Puisque :
les solutions de l’équation (1) sont les valeurs de x telles que :
c’est-à-dire :
ou encore :
| 3 | | Interprétation géométrique |
D’un point de vue géométrique, les racines de l’équation du second degré (1), lorsqu’elles sont réelles, représentent les abscisses des points d’intersection de la parabole ayant pour graphe y = ax2 + bx + c avec l’axe des abscisses. Selon que b2 - 4ac est positif, nul ou négatif, il existe deux, un ou aucun point d’intersection.
